Действительно, Q2 подает напряжение батареи на вход DC-DC преобразователя питания U4. И, вероятно, мощности транзистора не хватило, либо это было изначально дефектный транзистор, который не выдержал условий работы.
На место Q2 можно попробовать P-канальный MOSFET c управляющим напряжением логического уровня и ток стока больше 1 А. Что-то типа Si2301DS, Q6 на схеме
https://impulsite.ru/ctlg/yongnuo/yn560 ... 893183.png.
Если найдете время, прозвоните точки под вопросами на фото ниже. Это проводники уходящие в средний слой. И это факультативно, потому что замена Q2 скорее всего нормализует работу БП и восстановить схему полностью сейчас не получится, но Ваши сведения по результатам прозвонки будут очень полезными для отрисовки полной схемы позже.
?1, коллектор Q1 - приходит к ... ?
?2, верх R39 - приходит к ... ?
?3, коллектор Q11 - приходит к ... ?
?4, вывод U3:9 - приходит к ... ?
?5, эмиттер Q11 - приходит к ... ?
?6, низ R15 - приходит к ... ?
?7, низ R43 - приходит к ... ?
?8, вывод U1:1 - приходит к ... ?
?9, минус C3, U4:4 - приходит к ... ?
?10, исток Q3 - приходит к ... ?
?11, левый вывод C7 - приходит к ... ?
?12, анод D13 - приходит к ... ?
?13, резистор R34 - приходит к ... ?
?14, сток Q5 - приходит к ... ?
?15, резистор R22, справа - приходит к ... ?
?16, резистор R23 - приходит к ... ?
?17, резистор R25 - приходит к ... ?
?18, резистор R34, справа - приходит к ... ?
?19, исток Q5 - приходит к ... ?
?20, вывод U4:10 - приходит к ... ?
?21, вывод U4:9 - приходит к ... ?
?22, ?? - приходит к ... ?
?23, минус C4 ? - приходит к ... ?
?24, ?? - приходит к ... ?
?25, база Q8 - приходит к ... ?
?26, вывод U3:8 - приходит к ... ?
?27, вывод U3:2 - приходит к ... ?
?28, низ C14 - приходит к ... ?
?29, верх C14 - приходит к ... ?
?30, ?? - приходит к ... ?
?31, вывод U4:13, 14 ?? - приходит к ... ?
?32, сред.точка R40-R38 - приходит к ... ?
Удалив Q2, измерьте сопротивление между "+" и "-" конденсаторов C2, C5 - нет ли там короткого замыкания (КЗ) ?